（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数...

问题详情：

（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________；

（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由；

（3）解决问题：如图3，已知△ABC中，AB=7，BC=3，∠ABC=45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠CAD=90°，AC=AD，连接BD，则的长为              ．

【回答】

（1）相等，垂直；（2）AD=2CM+BD；（3）或7﹣3

【分析】

（1）结论：AE＝BD，AE⊥BD．如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要*△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题；

（2）结论：AD＝2CM+BD，只要*△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题；

（3）分两种情形分别画出图形，构造全等三角形解决问题即可；

【详解】

（1）结论：AE＝BD，AE⊥BD．

理由：如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴AC＝BC，CD＝CE，

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，

∵∠CAE+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，

∴∠BOH+∠CBD＝90°

∴∠AHB＝90°，

∴AE⊥BD．

故*是：AE＝BD，AE⊥BD．

（2）结论：AD＝2CM+BD，

理由：如图2中，

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴AC＝BC，CD＝CE，

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，∠BDC＝∠AEC＝135°．

∴∠ADB＝∠BDC﹣∠CDE＝135°﹣45°＝90°；

在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，

∴CM＝DM＝ME，

∴DE＝2CM．

∴AD＝DE+AE＝2CM+BD．

（3）情形1：如图3﹣1中，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．

∵∠ACD＝∠ADC＝45°，

∴AC＝AD，∠CAD＝90°，

∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，

∴△EAC≌△BAD（SAS），

∴BD＝CE．

∵AE＝AB＝7，

∴BE＝，∠ABE＝∠AEB＝45°，

又∵∠ABC＝45°，

∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，

∴EC＝，

∴BD＝CE＝．

情形2：如图3﹣2中，作AE⊥AB交BC的延长线于E，则△ABE是等腰直角三角形，

同法可*：△EAC≌△BAD（SAS），

∴BD＝CE，

∵AB＝AE＝7，

∴BE＝7，

∴EC＝BE＝CB＝7﹣3，

综上所述，BD的长为或7﹣3．

【点睛】

考查了等腰直角三角形的*质，全等三角形的判定和*质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.

知识点：勾股定理

题型：解答题