在数列与中,,数列的前n项和满足,为与的等比中项,.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)求数列与的通项公式;(Ⅲ)设,*
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问题详情:
在数列与中,,数列的前n项和满足,为与的等比中项,.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)求数列与的通项公式;
(Ⅲ)设,*
【回答】
(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)见解析
【分析】
(Ⅰ)根据得,解得,根据为与的等比中项,得,解得的值;(Ⅱ)根据和项与通项关系得通项递推关系,再根据叠乘法得数列的通项公式,根据等比条件可得,再用数学归纳法得的通项公式;(Ⅲ)根据符号变化规律,分类求和,再比较大小*不等式.
【详解】
(Ⅰ)因为,所以,
因为为与的等比中项,
所以
(Ⅱ)
因此
所以
因为,所以,
因为为与的等比中项,
所以
下面用数学归纳法*
(1)当时,,结论成立,
(2)假设当时,结论成立,即,
当时,结论成立,
综合(1)(2)可得
(Ⅲ)因为,,
所以当时
当时
当时,
当时,
,
当时,
综上.
【点睛】
本题考查由和项与通项关系求通项、利用数学归纳法求通项以及利用分组法求和,考查综合分析论*与求解能力,属较难题.
知识点:数列
题型:解答题