如图1,以边长为8的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O,交对角线AC于点E.(1)线段AE= ;...
问题详情:
如图1,以边长为8的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O,交对角线AC于点E.
(1)线段AE= ;
(2)如图2,以点A为端点作∠DAM=30°,交CD于点M,沿AM将四边形ABCM剪掉,使Rt△ADM绕点A逆时针旋转(如图3),设旋转角为α(0°<α<150°),旋转过程中AD与⊙O交于点F.
①当α=30°时,请求出线段AF的长;
②当α=60°时,求出线段AF的长;判断此时DM与⊙O的位置关系,并说明理由;
③当α= °时,DM与⊙O相切.
【回答】
(1)4;(2)①4,②相离,见解析,③90
【分析】
(1)连接BE,则可得出△AEB是等腰直角三角形,再由AB=8,可得出AE的长.
(2)①连接OA、OF,可判断出△OAF是等边三角形,从而可求出AF的长;②此时可得DAM=30°,根据AD=8可求出AF的长,也可判断DM与⊙O的位置关系;③根据AD等于⊙O的直径,可得出当DM与⊙O相切时,点D在⊙O上,从而可得出α的度数.
【详解】
解:(1)连接BE,
∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴∠BAC=45°,
∴△AEB是等腰直角三角形,
又∵AB=8,
∴AE=4;
(2)连接OA、OF,
①
由题意得,∠NAD=30°,∠DAM=30°,
故可得∠OAM=30°,∠DAM=30°,
则∠OAF=60°,
又∵OA=OF,
∴△OAF是等边三角形,
∵OA=4,
∴AF=OA=4;
②
连接B'F,此时∠NAD=60°,
∵AB'=8,∠DAM=30°,
∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4;
此时DM与⊙O的位置关系是相离;
③
∵AD=8,直径的长度相等,
∴当DM与⊙O相切时,点D在⊙O上,
故此时可得α=∠NAD=90°.
【点睛】
本题是一道圆的综合题目,涉及到的知识点有,正方形的*质、等边三角形的判定及其*质、特殊角的三角函数值、圆与直线的位置关系等,掌握以上各知识点并能综合利用是解此题的关键.
知识点:等腰三角形
题型:解答题