⑴.如图1,是正方形边上的一点,连接,将绕着点逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与*线交于点和点.①.线段和...
问题详情:
⑴.如图1,是正方形边上的一点,连接,将绕着点逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与*线交于点和点.
①.线段和的数量关系是 ;
②.写出线段和之间的数量关系.
⑵.当四边形为菱形,,点是菱形边所在直线上的一点,连接,将绕着点逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与*线交于点和点.
①.如图2,点在线段上时,请探究线段和之间的数量关系,写出结论并给出*;
②.如图3,点在线段的延长线上时,交*线于点;若 ,直接写出线段的长度.
【回答】
考点:旋转的特征,正方形以及菱形的*质,全等三角形的*质和判定,相似三角形的*质和判定,等腰三角形以及直角三角形的*质,勾股定理等.
分析:
本题的⑴问的①直接根据旋转特征可以得出*;本题的⑴问的②利用旋转的特征和全等三角形把转为等腰直角△的斜边,再利用勾股定理或者三角函数可以解决问题;本题的⑶问的①和⑴问的②的思路是一样的,利用旋转的特征和全等三角形把转为等腰△的底边,再作底边上的高线,再利用勾股定理或者三角函数解决问题;本题的⑵的②主要利用旋转的特征、全等三角形、相似三角形分别求出线段,再把它们加起来求出线段的长.
略解:
⑴.①.根据旋转的特征直接可以得出 . 故应填:;·· 2分
②.根据旋转的特征可知△≌△ ∴ ∴.
容易*△是等腰直角三角形,利用勾股定理或三角函数可以求出 ,
即 .······················ 4分
⑵.①.. ······················· 5分
理由如下:
∵四边形菱形
∴
由旋转120°可得:
∴ 即
在△G中,
∴
∴
∴△≌△( )
∴ ∴ ················ 8分
如图所示:过点作点
∵∴
在△中
∴
设,则
∴
∴
∴.··························· 10分
②.的长度为 . ·························· 12分
理由:
根据旋转的特征容易*△≌△ ∴;同时利用菱形的*质和旋转的特征并结合条件中的“,将绕着点逆时针旋转120°”可以退推出 ∴;
由菱形可得出∥ ∴△∽△ ∴ ∴
∴.(根据题目要求答卷时可不写理由.)
点评:
本题是由旋转建立起来的图形;利用旋转的特征得出全等三角形、等腰三角形含特殊角的直角三角形,以此为突破口,并在此基础探究线段之间的数量关系.本题虽然难度不大,但串联起了初中几何部分的多个重要知识点,是一道高质量的中考题.
知识点:各地中考
题型:综合题