如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作⊙O分别交AC,BM于点D,E.(Ⅰ...
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如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作⊙O分别交AC,BM于点D,E.
(Ⅰ)求*:MD=ME;
(Ⅱ)如图2,连OD,OE,当∠C=30°时,求*:四边形ODME是菱形.
【回答】
【考点】M5:圆周角定理;L9:菱形的判定.
【分析】(1)利用直角三角形斜边上的中线*质得MA=MB,则∠A=∠MBA,再利用圆内接四边形的*质*∠MDE=∠MED,于是得到MD=ME;
(2)先*△OAD和△OBE为等边三角形,再*四边形DOEM为平行四边形,然后加上OD=OE可判断四边形ODME是菱形.
【解答】解:(1)在Rt△ABC中,点M是AC的中点,
∴MA=MB,
∴∠A=∠MBA;
∵四边形ABED是圆内接四边形,
∴∠ADE+∠ABE=180°,
而∠ADE+∠MDE=180°,
∴∠MDE=∠MBA;
同理可得∠MED=∠A,
∴∠MDE=∠MED,
∴MD=ME;
(2)∵∠C=30°,
∴∠A=60°,
∴∠ABM=60°,
∴△OAD和△OBE为等边三角形,
∴∠BOE=60°,
∴∠BOE=∠A,
∴OE∥AC,
同理可得OD∥BM,
∴四边形DOEM为平行四边形,
而OD=OE,
∴四边形ODME是菱形.
【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了菱形的判定.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题