“一帶一路”讓*和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉探照燈．如圖1所示，燈...

問題詳情：

 “一帶一路”讓*和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉探照燈．如圖1所示，燈A*線從AM開始順時針旋轉至AN便立即迴轉，燈B*線從BP開始順時針旋轉至BQ便立即迴轉，兩燈不停交叉照*巡視．若燈A轉動的速度是每秒2度，燈B轉動的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．

（1）填空：∠BAN=　   　°；

（2）若燈B*線先轉動30秒，燈A*線才開始轉動，在燈B*線到達BQ之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？

（3）如圖2，若兩燈同時轉動，在燈A*線到達AN之前．若*出的光束交於點C，過C作∠ACD交PQ於點D，且∠ACD=120°，則在轉動過程中，請探究∠BAC與∠BCD的數量關係是否發生變化？若不變，請求出其數量關係；若改變，請説明理由．

【回答】

 解：（1）60°………………（2分）

（2）設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，

①當0＜t＜90時，如圖1，

∵PQ∥MN，

∴∠PBD=∠BDA，

∵AC∥BD，

∴∠CAM=∠BDA，

∴∠CAM=∠PBD

∴2t=1•（30+t），

解得 t=30；………………（5分）

②當90＜t＜150時，如圖2，

∵PQ∥MN，

∴∠PBD+∠BDA=180°，

∵AC∥BD，

∴∠CAN=∠BDA

∴∠PBD+∠CAN=180°

∴1•（30+t）+（2t﹣180）=180，

解得  t=110，

綜上所述，當t=30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行；………………（8分）

（3）∠BAC和∠BCD關係不會變化．………………（9分）

理由：設燈A*線轉動時間為t秒，

∵∠CAN=180°﹣2t，

∴∠BAC=60°﹣（180°﹣2t）=2t﹣120°，

又∵∠ABC=120°﹣t，

∴∠BCA=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣t，而∠ACD=120°，

∴∠BCD=120°﹣∠BCD=120°﹣（180°﹣t）=t﹣60°，

∴∠BAC：∠BCD=2：1，

即∠BAC=2∠BCD，

∴∠BAC和∠BCD關係不會變化

知識點：平行線的*質

題型：解答題