當兔子和狐狸處於同一棲息地時，忽略其他因素，只考慮兔子數量和狐狸數量的相互影響，為了簡便起見，不妨做如下假設：...
來源：國語幫 2.95W
問題詳情：
當兔子和狐狸處於同一棲息地時，忽略其他因素，只考慮兔子數量和狐狸數量的相互影響，為了簡便起見，不妨做如下假設：（1）由於自然繁殖，兔子數每年增長10%，狐狸數每年減少15%；（2）由於狐狸吃兔子，兔子數每年減少狐狸數的0.15倍，狐狸數每年增加兔子數的0.1倍；（3）第n年時，兔子數量
用表示，狐狸數量用
表示；（4）初始時刻（即第0年），兔子數量有
只，狐狸數量有
只。請用所學知識解決如下問題：
（1）列出兔子與狐狸的生態模型（
、
的關係式）；
（2）求出
、關於n的關係式；
（3）討論當n越來越大時，兔子與狐狸的數量是否能達到一個穩定的平衡狀態，説明你的理由。
【回答】
解：⑴
⑵設
，
∴
=……=
又矩陣M的特徵多項式
=
令
得：
特徵值
對應的一個特徵向量為
特徵值
對應的一個特徵向量為
且
∴
=
∴
⑶當n越來越大時，
越來越接近於0，
,
分別趨向於常量210,140。即隨着時間的增加，兔子與狐狸的數量逐漸增加，當時間充分長後，兔子與狐狸的數量達到一個穩定的平衡狀態。
知識點：矩陣與變換
題型：計算題
